Indice –  ïñð

1.1 – L'ottica geometrica

  Per affrontare i problemi legati all'ottica geometrica si può partire da due semplici premesse:

  1. La luce viaggia in linea retta, in un mezzo omogeneo.

  2. La velocità della luce, in un mezzo qualunque, dipende dalle caratteristiche del mezzo.

La prima ha come conseguenza che per rappresentare la luce emessa da una sorgente posso tracciare delle rette concentriche, i cosiddetti raggi, uscenti dalla sorgente stessa (comunemente puntiforme).

La seconda, invece,  porta alla definizione di indice di rifrazione assoluto ( n ) di un mezzo, espresso come rapporto fra la velocità della luce nel vuoto ( c =300.000 Km/sec che come sappiamo è una costante universale), e la velocità della luce nel mezzo considerato ( v ).

 n = c / v

L'indice di rifrazione di un qualunque mezzo sarà quindi sempre maggiore di 1 ( per l'aria si assume un valore di n = 1 ).

I fenomeni legati alla propagazione delle onde, che possono essere spiegati con l'ottica geometrica, sono due: riflessione e rifrazione della luce nel passaggio da un mezzo ad un altro.

 

      1.2 - La riflessione

Un raggio luminoso che incontra una superficie  viene riflesso secondo le seguenti leggi:

  1.  Raggio incidente, raggio riflesso e normale alla superficie riflettente nel punto di incidenza, sono complanari.

  2. L'angolo di incidenza, calcolato rispetto alla normale, e l'angolo di riflessione sono uguali.

 

           
                                                                                  

 

                          1.3 - La rifrazione

Un raggio luminoso che incide sulla superficie di separazione fra due mezzi trasparenti di natura diversa, attraversa il secondo mezzo secondo una direzione diversa da quella di incidenza, e le leggi relative sono le seguenti:

1)    Il raggio incidente, quello rifratto e la normale alla superficie nel punto di incidenza fra i due mezzi sono complanari.

2)   Il rapporto fra il seno dell'angolo di incidenza ( sen i ) ed il seno dell'angolo rifratto (sen r ) è costante ed è pari al rapporto fra l'indice di rifrazione assoluto del secondo mezzo ( n2 ) ,  rispetto all'indice di rifrazione del primo ( n1). Tale rapporto viene anche indicato come indice di rifrazione relativo fra il secondo mezzo ed il primo ( n 1,2 ). Questa legge è comunemente conosciuta come legge di Snell.

       

 Le leggi di riflessione e rifrazione godono del "principio di reversibilità", cioè i raggi sono gli stessi quando invertiamo il loro verso, scambiando raggio incidente con raggio riflesso, o rifratto, rispettivamente. In figura 1.2 è disegnato (tratteggiato) anche il raggio riflesso che è sempre presente, su qualunque superficie.

La legge di Snell, osservando la figura 1.2, mette in evidenza come se n2 > n1, allora sen i > sen r, e viceversa se n2 < n1, allora sen i < sen r.  Cioè il raggio rifratto si avvicina alla normale, o si allontana dalla normale, rispetto al raggio incidente, a seconda che si passi da un mezzo con indice di rifrazione assoluto minore ad uno maggiore, oppure da un mezzo con indice di rifrazione assoluto maggiore ad uno minore. In definitiva se l'indice di rifrazione relativo è n 1,2 < 1  oppure n 1,2 > 1.

In appendice è riportata la derivazione delle leggi della riflessione e della rifrazione dal principio di Fermat, che afferma che il cammino seguito da un raggio luminoso non è quello geometricamente più breve, ma quello che implica il minor tempo di percorrenza.

Una importante conseguenza di quanto appena affermato è la esistenza di un angolo limite (aL ).

figura 1.3

 Se prendiamo in esame la figura 1.3, in cui si suppone n1 > n2 , vediamo che all'aumentare dell'angolo di incidenza  aumenterà anche l'angolo di rifrazione, e il raggio rifratto formerà un angolo sempre maggiore di quello incidente, dovendo soddisfare la legge di Snell. Quando l'angolo rifratto sarà di 90°, esso sarà parallelo alla superficie, per cui non potrà propagarsi nel secondo mezzo. Questa condizione corrisponde ad un angolo  limite   che  potrà  essere espresso ,  sempre  in  base  alla  legge di  Snell , e ricordando che sen 90° = 1,  da: 

sen  aL/ sen 90°  = n2 / n1                            aL  =  arcsen ( n2 / n1 )

 Per angoli di incidenza maggiori di  aL avremo il fenomeno della riflessione totale, cioè ci sarà il raggio riflesso, ma non quello rifratto.

 

    1.4 - Fibre ottiche

Una importante applicazione di questo fenomeno è quello delle fibre ottiche, in cui i raggi luminosi rimangono intrappolati in un tubicino di vetro, esssendo gli angoli di incidenza sulle superfici esterne, maggiori dell'angolo limite, subendo quindi la riflessione totale. La luce è, così, in grado di fare percorsi anche contorti, pur viaggiando sempre in linea retta. La figura 1.4, che illustra questa situazione, è ovviamente non rispondente alla situazione reale, per quel che riguarda le dimensioni.

                            

 

 

 

figura 1.4

 Un breve cenno sulla struttura reale di una fibra ottica. Essa è costituita da un sottile tubicino di materiale vetroso racchiuso in una guaina protettiva. Il tubicino è, a sua volta, costituito da due strati concentrici. La parte centrale, il core , ha un’indice di rifrazione n1 maggiore di quello, n2, dello strato esterno, il cladding. Se un raggio incide sulla superficie che separa il core dal cladding con un angolo pari o superiore all’angolo limite, esso viene completamente riflesso, rimanendo intrappolato dentro la fibra ottica. Perché questo avvenga il raggio proveniente dall’esterno deve incidere sulla superficie esterna della fibra con un angolo al massimo pari a i, come mostrato in figura, limitato entro un cono di accettazione, la cui apertura ci proponiamo di ricavare. Consideriamo che l’elemento esterno sia aria, per cui possiamo porre il suo indice di rifrazione pari a 1.

          

 Applicando la legge di Snell all'interfaccia aria fibra abbiamo:

che può essere scritta:

e quindi ricordando la definizione di angolo limite

Questa espressione viene comunemente indicata come apertura numerica, e l’angolo massimo i a cui corrisponde l’angolo limite aL sulla superficie di separazione fra core e cladding, definisce l’angolo di accettazione della fibra ottica. Si può notare come tale angolo dipenda dagli indici di rifrazione di core e cladding.

 

       1.5 - Deviazione provocata da una lastra

 

Vediamo ora cosa succede ad un raggio luminoso che attraversi una lastra di materiale trasparente con le superfici parallele tra loro.

 


 figura 1.5

Dalla figura 1.5 è evidente come il raggio subisca solo una deviazione, uscendo dalla lastra in una direzione parallela a quella del raggio incidente. ( Basta ricordare i principi elementari della geometria applicata a rette parallele tagliate da una trasversale).  

d = r sen ( a  - b )         ;          d = r cos b         ;           d = ( d/ cos b) [ sen (a  - b ) ]

L'ultima relazione mette in evidenza quanto affermato,  ricordando che ( a  - b ) è tanto maggiore, quanto più è grande l'indice di rifrazione relativo n1,2.

 

1.6 - Fascio di raggi.


Se consideriamo un fascio di raggi paralleli incidente su una superficie rifrangente, con n1 < n2, di una certa larghezza D, si vede dalla fig. 1.6 che i raggi continuano nel secondo mezzo ancora paralleli tra loro, ma sono distribuiti con una larghezza D' diversa. La rifrazione provoca una variazione della larghezza del fascio.

 

 

E'  immediato  ricavare il rapporto fra le larghezze dei fasci osservando che 

 D = AB cos a  e che  D' =AB cos b

e quindi  

D / D' = cos a / cos b.

 Potrebbe sembrare una relazione banale, ma ha una certa importanza se osserviamo che la larghezza dei fasci è in qualche modo legata all'intensità della luce, in quanto distribuita su superfici diverse. Quando si passa da un mezzo con un certo indice di rifrazione ad un altro con indice di rifrazione maggiore, l'intensità, intesa come energia per unità di superfice, diminuisce, come è facile vedere dalla figura 1.6, visto che D' > D.

   

1.7 - I prismi

   

          I   prismi sono dei diedri a base triangolare, normalmente di vetro, ed hanno particolare importanza in ottica. 

          Esaminiamo le figure 1.7:

 

La figura a sinistra non ha bisogno di alcuna spiegazione, vista la perfetta simmetria del prisma retto e del raggio incidente perpendicolarmente alla faccia del prisma. Se l'angolo a è superiore all'angolo limite, il raggio è riflesso totalmente all'indietro.

La figura a destra è anch'essa di facile interpretazione se si osserva che gli angoli a e b sono complementari, visto che il triangolo AOB è rettangolo; e ancora se si tiene conto che i segmenti AO e A'B sono paralleli tagliati dalla trasversale PA'. Anche in questo caso, se a e b sono entrambi maggiori dell'angolo limite, il raggio viene totalmente riflesso nella stessa direzione di arrivo. Questo vale, entro certi limiti, qualunque sia l'angolo di incidenza del raggio PA.

Vediamo ora un'altra importante applicazione dei prismi. 

    

 Esaminiamo il caso, illustrato in figura 1.8, in cui un raggio incida su una superficie di un prisma, con angolo di incidenza a. In base alle leggi della rifrazione avremo che il raggio incidente subirà due successive rifrazioni, sulle superfici del prisma, formando angoli espressi dalla legge di Snell:

sen a / sen b = n2 / n1                     sen b' / sen a' = n1 / n2

 Il raggio uscente risulterà così deviato complessivamente di un angolo d . Ci proponiamo di esprimere questa deviazione in funzione dell'angolo di incidenza, dell'apertura g del prisma e degli indici di rifrazione del mezzo in cui è immerso il prisma e del materiale di cui esso è costituito. Dalla figura 1.8 è facile ricavare, ricordando semplici teoremi di geometria:

d = a - b + a' - b' =  a + a' - ( b + b' ) = a + a' - g

Questa relazione mette in evidenza il legame della deviazione con l'angolo di incidenza a. Se ora lasciamo fissa la direzione del raggio incidente e facciamo ruotare il prisma intorno ad un asse perpendicolare al piano della figura 1.8, a partire da piccoli valori di a, si osserva che la deviazione d diminuisce, raggiungendo un minimo e poi crescendo di nuovo. In appendice si può trovare la dimostrazione che il valore minimo della deviazione d si ha quando:

a = a'                              b = b'                              f1 = f2

e quindi

dm = 2a - g        da cui     a = 1/2(dm + g)    con     g = 2b

La legge di Snell sulla prima faccia del prisma, in condizione di deviazione minima, può allora essere scritta come:

 

 Sfruttando questa relazione si possono fare misurazioni di indice di rifrazione di qualunque materiale. Basta infatti costruire un prisma con il materiale di cui si vuole conoscere l'indice di rifrazione, dandogli un'opportuna apertura g e misurare l'angolo di  deviazione minima dm.

   

1.8 - La dispersione cromatica

   

L'applicazione più comune dei prismi si ha, però, negli spettroscopi, dove si sfruttano le loro caratteristiche dispersive. La foto seguente mostra la separazione delle componenti cromatiche di un laser ad Argon, provocate da un prisma.

E' noto, infatti, che l'indice di rifrazione di un qualsiasi mezzo, non è costante, ma varia a seconda della lunghezza d'onda della luce, cioè del suo colore, in maniera inversamente proporzionale ad essa ( dispersione cromatica ). Questo vuol dire che per la luce rossa, che ha una grande lunghezza d'onda, si ha un indice di rifrazione relativamente basso, mentre per la luce violetta, che ha una lunghezza d'onda più corta, si ha un indice di rifrazione maggiore. La conseguenza di questo è che la luce violetta è rifratta in misura maggiore della luce rossa, e così per tutta la scala cromatica. Se facciamo incidere un raggio di luce bianca, cioè composta di tutti i colori, sulla faccia di un prisma ( figura 1.9 ), vediamo che ogni colore subirà una deviazione diversa, dando origine su un eventuale schermo posto dopo il prisma, ad una separazione dei vari colori.


Il fenomeno della dispersione cromatica, accentuato nei prismi dal fatto che la deviazione dipende dall'angolo di apertura del prisma stesso, come detto nel paragrafo precedente, permette di sfruttare i prismi nella loro applicazione più classica. Nella costruzione degli spettroscopi, in grado di misurare la lunghezza d'onda incognita della luce incidente, hanno un ruolo fondamentale i prismi.

   

1.9 - Lo spettroscopio

   

Lo spettroscopio è costituito da un piatto girevole su cui è appoggiato un prisma, un collimatore che funge da sorgente luminosa, un cannocchiale mobile attraverso cui si osserva il raggio rifratto dal prisma, ed infine un goniometro che permette di effettuare misure di angolo di grande precisione. E' uno strumento che permette misure di indice di rifrazione, con le tecnica dell'angolo di deviazione minima, o anche misure di lunghezze d'onda incognite, per confronto con lunghezze d'onda note.

 

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